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【题解】[SHOI2005]树的双中心
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发布时间:2019-02-28

本文共 2261 字,大约阅读时间需要 7 分钟。

题目描述

在这里插入图片描述
solution:
考虑如何化简这个 m i n min min 函数。

假设所选的点为 x x x y y y,那么从路径 x y xy xy 的中点进行划分,可知答案为左边部分为到 x x x 的距离加上右边部分到 y y y 的距离。

考虑如何理解 m i n min min 函数:可以看作选出 x x x y y y,然后对每一个点都任意选择加上到 x x x 或到 y y y 的距离。由上可知,最优的决策一定是整个树被一条边分成两颗树后的结果。

我们可以不枚举 x x x y y y,而是枚举这个断开的点,再分别求出两个树的带权重心,把两棵树的花费加起来即可。

总的来说,对于 x x x y y y ,我们不能求出划分点,但对于给定的划分点,我们的 x x x, y y y 是固定的,而且恰好是树的重心。

求重心可以 O ( h ) O(h) O(h)。具体做法是每次都跳重儿子。所以时间复杂度 O ( n h ) O(nh) O(nh)

#include
using namespace std;const int N=50005;inline int read(){ int X=0; bool flag=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') flag=0; ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') { X=(X<<1)+(X<<3)+ch-'0'; ch=getchar();} if(flag) return X; return ~(X-1);}struct Edge{ int u,v;}s[N];int head[N*2],nxt[N*2],to[N*2],p[N*2],cnt,_siz;int n,f[N],g[N],val[N],siz[N],fa[N],res,ans,sum;int g2[N];int son[N],son2[N];//重儿子和次重儿子,和长链剖分也有关系 void add(int x,int y,int z) { to[++cnt]=y,nxt[cnt]=head[x],head[x]=cnt,p[cnt]=z;}void dfs(int x,int fath) { siz[x]=val[x]; for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) { int y=to[i]; if(y==fath) continue; fa[y]=x; dfs(y,x); siz[x]+=siz[y]; f[x]+=f[y]+siz[y]; if(siz[y]>siz[son[x]]) son2[x]=son[x],son[x]=y; else if(siz[y]>siz[son2[x]]) son2[x]=y; }}void dfs2(int x,int fath) { if(x==1) g[x]=f[x]; else g[x]=g[fath]+_siz-2*siz[x]; for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) { int y=to[i]; if(y==fath) continue; dfs2(y,x); } }void dfs3(int x,int fath,int C) { if(x==0) return; ans=min(ans,g2[x]); int A=son[x],B=son2[x]; if(A!=C) { if(siz[A]>_siz/2) { g2[A]=g2[x]+_siz-2*siz[A]; dfs3(A,x,C); } } if(B!=C) { if(siz[B]>_siz/2) { g2[B]=g2[x]+_siz-2*siz[B]; dfs3(B,x,C); } }}int main() { n=read(); for(int i=1;i
=1;i--) { int x=s[i].u,y=s[i].v,tot1,tot2; if(fa[x]!=y) swap(x,y); ans=0x3f3f3f3f; g2[x]=f[x],_siz=siz[x]; dfs3(x,y,0);//以x为子树的带权重心 tot1=ans; ans=0x3f3f3f3f; int T=1,z=y; while(y!=1) { siz[y]-=siz[x]; y=fa[y],T++; } siz[1]-=siz[x],g2[1]=g[1]-T*siz[x]-f[x],_siz=sum-siz[x]; dfs3(1,0,x);//以1为子树,去掉x子树的带权重心 tot2=ans; res=min(res,tot1+tot2); while(z!=1) { siz[z]+=siz[x]; z=fa[z]; } siz[1]+=siz[x]; } printf("%d",res);}

这里面有求重心的方法:https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/11258403.html

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